通过上周的学习，我们在文件夹中生成并储存了一个名称为 MM_data 的 csv文件。在之前线性回归的课程中，我们使用 scipy.stats 库中的 linregress 函数来执行线性回归。这个方法足以对数据进行最小二乘线性的拟合。今天小亚老师将带大家一方面进行一下回顾，通过使用 Python 的数据处理的库，进行数据拟合，并可视化拟合结果，同时将创建一个基于 Michaelis-Menten 方程的函数，学习如何使用 scipy.optimize 中的 curve_fit 将数据拟合到函数，来分析数据是否符合假设模型

首先我们了解一下米氏方程（Michaelis-Menten equation），米氏方程描述了酶催化反应的动力学。我们将使用基于单个底物的初始反应速度的最简单版本的方程。

在我们的方程中，有两个参数，一个是最大速度（Vmax）和米氏常数（Km），自变量 [S] 是底物浓度，因变量 Vi 是初速度。

为了方便起见，我们可以先导入所有要用到的库：

import osimport pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import curve_fit

现在我们输入代码来导入数据：

datafile = os.path.join('data', 'MM_data.csv')rates_df = pd.read_csv(datafile)rates_df

我们首先从 DataFrame 中分别提取 initial velocities 和 pNPP (mM) 列，作为自变量和因变量。然后使用 matplotlib 来绘制散点图，展示数据的分布情况。代码如下：

ydata = rates_df['initial velocities']xdata = rates_df['pNPP (mM)']plt.plot(xdata, ydata, 'o', label=‘data')

以上步骤各位小伙伴应该是比较熟悉了，如果还不太熟悉，需要及时复习哦。当我们看到数据情况之后，接下来就是要看这些数据是不是与我们的公式拟合。这里需要用到 python 中函数的定义。

Tip：

这里给大家介绍一下函数的概念：函数是使用 def 关键字定义的，后跟函数的名称。该函数可以具有传递给它的自变量和参数；它们位于函数名称后面的括号中。然后在括号后添加冒号。这会导致函数主体代码在 Jupyter 笔记本编码单元中缩进。在某些情况下，函数也可能没有参数。大多数函数返回某种类型的信息。这里需要注意的是，定义函数并不代表它会被立刻执行。

比如接下需要定义 Michaelis-Menten 函数这里我们用缩写MM，我们使用 Python 的 def 关键字来定义这个函数，并使用底物浓度 (SubConc)、最大速度 (Vmax)、米氏常数 (Km) 作为参数。

def MM(SubConc, Vmax, Km):    Vi = Vmax * SubConc/(Km + SubConc)    return Vi

现在，我们可以使用 rates_df 数据中的底物浓度列，以及假设的 Vmax 和 Km 值来测试这个函数，看看它是否产生预期的输出。

result = MM(rates_df['pNPP (mM)'], 100, 1)result

result 变量中将包含基于 pNPP (mM) 列中的底物浓度、假设的 Vmax = 100 和 Km = 1 计算出的初速度。如果一切正常，我们将看到一个与 pNPP (mM) 列具有相同大小的序列，其值对应于使用 Michaelis-Menten 方程计算得出的初速度。

很好，相信大家已经定义好了 Michaelis-Menten 函数。接下来就是需要使用 curve_fit 进行数据拟合。curve_fit 的基本语法如下：

popt, pcov = curve_fit(model_function, xdata, ydata, p0=initial_guesses)

1 参数说明：

model_function：你要拟合的数据的函数模型。在这里我们使用刚才定义的 MM 函数。

xdata：自变量数据（例如底物浓度）。

ydata：因变量数据（例如初速度）。

p0（可选）：参数的初始猜测值的数组。如果未提供，函数默认使用 1.0 作为所有参数的起始值。

2 获得的返回值：

Popt：最佳拟合参数的数组，这些参数使函数最适合数据。在这里返回的是最佳拟合参数包含Vmax和Km。

pcov：是popt 的协方差估计。对角线提供参数估计的方差，这些值的平方根给出了参数估计的不确定性（标准差）。

在前面的代码中，我们定义了一个用于 Michaelis-Menten 方程的函数 MM，现在我们来使用 scipy.optimize.curve_fit() 来拟合实验数据。

大家可以看到，我们需要将三个数据传递给 MM 函数，分别是：SubConc, Vmax, Km，然后 MM 函数会反馈给我们一个酶催化反应的初始速度(Vi)。然后 curve_fit 将使用实验数据来拟合后 Vmax 和 Km 的最佳估计值，使得 MM 函数的输出（计算出来的初速度）最接近实验数据（ydata）。

popt, pcov = curve_fit(MM, xdata, ydata)print (popt)print (pcov)

我们可以将popt中的两个数值提取出来，并且为每个参数提取一个标准差。

Vmax = popt[0]Km = popt[1]stdev = np.sqrt(np.diag(pcov))print('Vmax for this reaction:', Vmax, '+/-', stdev[0])print('Km for this reaction:', Km, '+/-', stdev[1])

stdev = np.sqrt(np.diag(pcov)) 这一句代码用来计算参数估计值的标准误差（standard deviation），具体来说，是拟合参数（如 Vmax 和 Km）的标准误差。

让我们一步步解释这句话的含义：

在前面的代码中，我们使用了 curve_fit 函数来拟合数据：popt 是最佳拟合参数的数组（即 Vmax 和 Km）。pcov 是这些参数的协方差矩阵（covariance matrix）。协方差矩阵是统计学中用于描述多个变量之间关系的一个重要工具。在曲线拟合中，它被用来量化参数估计值的不确定性以及参数之间的相关性。这里不再对定义细节深究，感兴趣的小伙伴可以自己进行学习。简单来讲，矩阵的对角线元素表示各参数估计值的方差，非对角线元素表示参数之间的协方差。np.diag(pcov) 是 numpy 的一个函数，用于提取矩阵的对角线元素。在这里，它提取了 pcov 矩阵中的对角线元素，这些元素分别对应 Vmax 和 Km 的方差。np.sqrt 是 numpy 的平方根函数，所以np.sqrt(np.diag(pcov)) 计算了每个参数方差的平方根，得到每个参数的标准误差（standard deviation）。

我们可以让数据显示的更加直观一些

fit_y = MM(xdata, Vmax, Km)plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='data')plt.plot(xdata, fit_y, '-', label='fit')

每一行的详细解释：

fit_y = MM(xdata, Vmax, Km)

这一行代码使用先前定义的米氏方程（Michaelis-Menten equation）MM来计算拟合曲线上的点。xdata 是底物浓度的数组。Vmax 和 Km 是通过曲线拟合得到的参数。fit_y 是一个数组，包含了根据拟合参数计算得到的反应速率值（即 Vi = Vmax * SubConc / (Km + SubConc)）。这些值是根据输入的 xdata 和拟合出的 Vmax、Km 计算得出的，代表拟合曲线上的点。

plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='data')

这一行代码用于绘制实验数据。

plt.plot() 是 matplotlib 中用于绘制图形的函数。xdata 是底物浓度的数据，ydata 是对应的初始反应速率。'o' 指定使用圆点来表示数据点。这些圆点会出现在图上，用于标记实验数据。label='data' 为这一系列数据点添加了图例标签，图例在图形中可以帮助我们区分数据点和拟合曲线。

plt.plot(xdata, fit_y, '-', label='fit')

这一行代码用于绘制拟合曲线。

xdata 是底物浓度的数据，fit_y 是根据拟合参数计算得到的反应速率（在第一行代码中计算）。'-' 指定使用实线来表示拟合曲线。label='fit' 为拟合曲线添加了图例标签，图例在图形中可以帮助我们区分拟合曲线和实验数据点。

我们也可以生成更平滑的拟合曲线

smooth_x = np.linspace(np.min(xdata), np.max(xdata), 1000)smooth_y = MM(smooth_x, Vmax, Km)plt.plot(xdata, ydata, 'bo', label='data')plt.plot(smooth_x, smooth_y, 'r', label = 'fit')plt.legend()

每一行的详细解释：

smooth_x = np.linspace(np.min(xdata), np.max(xdata), 1000)

np.linspace(np.min(xdata), np.max(xdata), 1000) 生成了一个包含 1000 个点的数组 smooth_x，这些点均匀分布在 xdata 的最小值和最大值之间。这使得我们在拟合曲线绘制时有了更多的点，从而得到一条更平滑、更连续的曲线。

smooth_y = MM(smooth_x, Vmax, Km)

使用先前定义的米氏方程 MM 计算 smooth_x 对应的 y 值，即反应速率 smooth_y。

由于 smooth_x 包含了更多点，smooth_y 也会有更多的对应值，这为绘制平滑的拟合曲线做好了准备。

plt.plot(xdata, ydata, 'bo', label='data')

使用蓝色圆点（'bo'）来绘制原始数据点，其中：'b' 表示蓝色（blue）。'o' 表示圆点。这些数据点代表实验中获得的初始反应速率。

plt.plot(smooth_x, smooth_y, 'r', label = 'fit')

使用红色实线（'r'）绘制平滑的拟合曲线，其中：'r' 表示红色（red）。由于 smooth_x 包含更多点，曲线会显得更加平滑和连续，而不是像上一段代码那样仅仅通过有限的 xdata 绘制曲线。

plt.legend()

添加图例，帮助区分图中的不同元素（如实验数据和拟合曲线）。